BigHope's Life

BigHope's Life

outputの練習

続・続・行列式の話。

前回までの復習

 

bighope-life.hateblo.jp

 

 

bighope-life.hateblo.jp

 

前回までは、行列式の定義、基本的な理解についてみてきた。

 

 

行列式とは符号付き体積を対応させる関数であり、多重線型性、交代性、規格化条件の3つの性質によって一意的に特徴付けられる。

 

 

 

 

今回は行列式の性質について見ていく。

 

 

 

 

今回はn=3の場合で理解を深めていく。

 

 

 

行列の積に対して、行列式がどのようなふるまいを見せるか、つまり

f:id:BigHope:20171001023116p:plain

を見ていこう。

 

これは次のように解釈できる。

f:id:BigHope:20171001023250p:plain

 

 

 

 

まずは色々と定める。

一番下のABの変形に注目。このように変形されることが次に生きてくる。

f:id:BigHope:20171001023322p:plain

 

 

これによって、

f:id:BigHope:20171001023436p:plain

 

というように表すことができる。

 

 

これによって、fの行列式としての性質である「多重線型性」から次のように議論が展開できる。

f:id:BigHope:20171001023604p:plain

 

また、交代性についても同様にいえ、gAという関数が「多重線型性」と「交代性」という2つの性質を持つことが分かった。

 

 

 

さて、n=2,3の時の行列式の議論の式変形を見てもらえればわかるが、(前記事)

「多重線型性」と「交代性」を持つ関数は、行列式という関数の定数倍という形のものしか存在しないことがわかるので、

 

 

この時点で、

f:id:BigHope:20171001024924p:plain

 

と表されることがわかる。この定数Cの値を求める。

 

 

 

ということで、Bに単位行列Iを代入してみると、fの規格化条件から右辺はCに、左辺は定義からdetAになるので、

 

f:id:BigHope:20171001025054p:plain

 

となって、C=detAが得られる。

 

 

よって、

f:id:BigHope:20171001025227p:plain

となって、それぞれの関数の定義を考えれば、この式は、

f:id:BigHope:20171001025306p:plain

となる。

 

 

以上、行列式に関する一つの重要な性質を得た。

 

 

 

 

行列式とは、「行列の掛け算」を「数の掛け算」に写すような写像である

と言える。

 

 

 

 

n=3で考えたが、この話は一般のnでも成り立つ。

f:id:BigHope:20171001025523p:plain

 

 

 

 

さて、まとめると、行列式について重要な性質は

f:id:BigHope:20171001025611p:plain

 

こんな感じ。

 

 

 

これらは、先ほども言ったように、行列式は「行列の掛け算」を「数の掛け算」に写すような写像であることから、

行列の「数」の性質を理解する上で役立つ。

 

 

以上。つづく。

 

次回は、行列式の計算について。

 

bighope-life.hateblo.jp