BigHope's Life

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outputの練習

行列式というやつについて。(基本的な理解を!)

行列に関する基本概念として、「行列式」というものがある。

 

これは、線型代数学における最も基本的な概念の一つであるから、しっかりと理解して慣れておく必要がある。

 

まず、そもそも論として、行列式を理解する上で重要な前提をおさえておく。

 

行列式を理解する上で大切な点は次の2つ。

  1. 行列式とは、「(符号付き)体積」を対応させる関数である
  2. そうした関数は行列式が持つ3性質によって一意的に定まる 

 

一般に、n行n列の行列Aに対して、行列式と呼ばれる数を対応させることができる。

行列式は英語でdeterminantであることから、正方行列Aの行列式を「detA」と表したり、|A|と表したりする。(絶対値とは別物)

 

すると、行列式は、

f:id:BigHope:20170930171707p:plain

というように、正方行列Aに対してdetAという数を対応させる関数と考えられる。

(関数っぽさを出すためにfとした)

 

 

行列式を深く理解するために、

f:id:BigHope:20170930171724p:plain

とする。

 

イメージに書いた通り、

行列式を、n個のベクトルに対して数を対応させる関数と考え、

 

とする。

 

この時、行列式は、

  1. 多重線型性
  2. 交代性
  3. 規格化条件 

 という3つの性質で特徴付けられる。

 

 

 

 

 

以下、これらをよりよく理解するために、n=2で考える。*1

 

つまり、この時、行列式とは

f:id:BigHope:20170930173148p:plain

 

であり、

 

下の3つの性質を持つ関数であるということになる。

f:id:BigHope:20170930173246p:plain

 

1.多重線型性について。

これは、例えば、a2を固定して、fをa1だけの関数と考えた時に、

「R^2の足し算」を「Rの足し算」に,

「R^2のスカラー倍」を「Rのスカラー倍」に

写すということである。

 

このように、「足し算」を「足し算」に、「スカラー倍」を「スカラー倍」に写すような写像線型写像という。今の場合、この性質が、ここの変数a1、a2に対してそれぞれ成り立つので、多重線型性と呼ぶ。

 

2.交代性について。これは、「a1とa2をひっくり返すと(-1)倍される」ということ。

 

 

 

さて、ここまで3つの性質を紹介したが、初めに述べた「(符号付き)体積」について理解することで、行列式について幾何学的に理解し、さらなる理解を深めていく。

 

上に述べたように、我々は、2行2列の行列式を、

f:id:BigHope:20170930173148p:plain

と考えた。

そこで、

「平面上の2つのベクトルが与えられた時に、自然に定まるような数とはなんだろうか」

を考えてみる。

 

 

この2つのベクトルから定まる平行四辺形の面積はどうだろうか?

 

f:id:BigHope:20170930174825p:plain

画像のようにSを定め、これが3つの性質を満たすかどうかを考えてみる。

 

多重線型性がもし成り立つならば、

f:id:BigHope:20170930174929p:plain

 

「負の面積」というものを必然的に考えなければいけなくなってしまう。

 

実は、「向き」という概念を考慮して、「符号付きの面積」というものを定義することができる。

f:id:BigHope:20170930175051p:plain

 

a1,a2がなす平行四辺形と、-a1,a2がなす平行四辺形の面積は普通は等しいと考えるが、

「符号付き面積」の概念を導入すれば、両者は絶対値が等しく符号が逆であるという関係性にあると考えることができる。

 

具体的には、a1から見てa2が反時計回りに180度回転するまでに得られる方向にある時、この2つのベクトルがなす平行四辺形の面積Sは正であるとする。

 

 

こうすると、多重線型性について、

f:id:BigHope:20170930180321p:plain

図のように長さを定めると(わかりにくくてすまん)

 

f:id:BigHope:20170930180407p:plain

 

となって多重線型性は成り立つ。(スカラー倍の方はすぐにわかる)

 

 

交代性については符号付き面積の上の定義からわかり、

規格化条件については、一辺1の正方形の面積であるから、当然1となって確かに成り立つ。

 

 

以上から、関数Sは行列式を特徴付ける3つの性質を持つことがわかった。

つまり、この3性質とは、

a1,a2の定める平行四辺形の符号付き面積が持つ性質を抽象化したものである

ということがわかる。

 

 

 

次に、この3性質を持った関数は実は一つしかない、つまりn=2では今考えているSしかないということについて考えていく。

 

 

このことは、2つのベクトルa1,a2に対して、f(a1,a2)の値は3性質を用いることだけである一つの値に決まるということを意味している。

 

具体的に考えてみる。

f:id:BigHope:20170930182113p:plain

 

ちゃんと3性質によって、f(a1,a2)の値がただ一つ(ad-bc)に定まった。

 

 

 

以上より、n=2の時は、

行列式とは、「符号付き面積を対応させる関数」であり、このような関数は3性質(多重線型性、交代性、規格化条件)によって一意的に特徴付けられる

ことが分かった。

 

 

疲れた

 

 

 

続き↓

 

bighope-life.hateblo.jp

 

 

*1:考え方の本質は2行2列でわかる

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